παραλλαγη του τριγωνου πασκαλ
Στη διάρκεια του σχολικού έτους 2022-23, οι μαθητές της Γ΄ τάξης του Πρότυπου Γυμνασίου Ζωσιμαίας Σχολής Ιωαννίνων ερεύνησαν τις αλλαγές που εμφανίζονται στο τρίγωνο του PASCAL αν στην τριγωνική διάταξη των συντελεστών αντικαταστήσουμε τους συντελεστές του διωνύμου α+β με αυτούς του 2α+β ή του 3α+β
Ο συντονισμός της εργασίας ανατέθηκε στους μαθητές Σπύρου Ελεάνα και Σκούρτη Αναστάση.
Η τελική παρουσίαση ανατέθηκε στους μαθητές Δημήτρη Μπατσούλη και Θεοφάνη Παπασπύρου
Η τελική παρουσίαση ανατέθηκε στους μαθητές Δημήτρη Μπατσούλη και Θεοφάνη Παπασπύρου
Το τρίγωνο που Pascal είναι γνωστό για τις πολλές ιδιότητές του.
Σχηματίζεται από τους συντελεστές του αναπτύγματος του διώνυμου α+β με εκθέτη έναν φυσικό αριθμό, όταν τοποθετηθούν σε τριγωνική διάταξη, όπως φαίνεται στην παραπάνω εικόνα.
Το τρίγωνο αυτό πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Blaise Pascal (1623 - 1662)
Διαβάστε περισσότερα για το τρίγωνο του Pascal εδώ
Σχηματίζεται από τους συντελεστές του αναπτύγματος του διώνυμου α+β με εκθέτη έναν φυσικό αριθμό, όταν τοποθετηθούν σε τριγωνική διάταξη, όπως φαίνεται στην παραπάνω εικόνα.
Το τρίγωνο αυτό πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Blaise Pascal (1623 - 1662)
Διαβάστε περισσότερα για το τρίγωνο του Pascal εδώ
- Η ιδιότητα -ακολουθία Fibonacci
Όπως είναι γνωστό στο τρίγωνο του PASCAL, με τους συντελεστές της ταυτότητας (α+β)ν, το άθροισμα των αριθμών σε κάθε διαγώνιο σχηματίζουν την ακολουθία Fibonacci. Αν αντικαταστήσουμε το διώνυμο α+β με το 2α+β ή με το 2α+β , εμφανίζεται η ακολουθία των αριθμών του Πελ
Δείτε την εργασία της Λυδίας
2α_β-Πασκάλ-Λυδία_Χαλιάσου.docx | |
File Size: | 209 kb |
File Type: | docx |
- Κάθε αριθμός, στο τρίγωνο του Pascal, προκύπτει από το άθροισμα των δυο αριθμών πάνω από αυτόν, της προηγούμενης γραμμής.
Αν αντικαταστήσουμε το α+β με το 2α+β, τότε κάθε αριθμός προκύπτει από το άθροισμα του πρώτου συν το διπλάσιο του δεύτερου αριθμού της προηγούμενης γραμμής, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα
Δείτε την εργασία του Νικήτα
2α_β-_ΠΑΣΚΑΛ_-_Νικήτας_Παπατόλης.docx | |
File Size: | 53 kb |
File Type: | docx |
- To μπαστούνι του hockey
Εργασία της μαθήτριας Νιξίνα Μάρθας
Στο τρίγωνο του PASCAL το άθροισμα των αριθμών μιας διαγωνίου ισούται με τον αριθμό της επόμενης γραμμής, έτσι ώστε να σχηματίζεται ένα μπαστούνι hockey, όπως φαίνεται στην επόμενη εικόνα
Αν αντικαταστήσουμε το α+β με το 2α+β, έχουμε δυο περιπτώσεις.
Πρώτη περίπτωση
Πρώτη περίπτωση
Δεύτερη περίπτωση
Δείτε την εργασία της Μάρθας
2a_b_-_Πασκάλ_-Μάρθα_Νιξίνα.docx | |
File Size: | 18 kb |
File Type: | docx |
- Τριγωνικοί αριθμοί στο τρίγωνο Pascal
Στο τρίγωνο του PASCAL η τρίτη διαγώνιος, όπως δείχνει η παρακάτω εικόνα, σχηματίζεται από του λεγόμενους τριγωνικούς αριθμούς. Το ίδιο συμβαίνει και με τη διαγώνιο από αριστερά.
Πρώτη περίπτωση αντικατάσταση του α+β με 2α+β
Εργασία του μαθητή Ηλία Μάνη
Αν αντικαταστήσουμε το α+β με το 2α+β, τότε οι αριθμοί στην τρίτη διαγώνιο από αριστερά έχουν διαφορετικό μοτίβο από αυτό της δεξιάς διαγωνίου, όπως παρουσιάζονται στις δυο περιπτώσεις που ακολουθούν
- Στη διαγώνιο από δεξιά εμφανίζονται οι αριθμοί 1,6,24,80,240,672…, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.
2. Στη διαγώνιο από αριστερά εμφανίζονται οι αριθμοί 4,12,24,40,60,84... όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα
Δείτε την εργασία του Ηλία
2α_β-_πασκαλ-Μανής_Ηλίας.docx | |
File Size: | 35 kb |
File Type: | docx |
Δεύτερη περίπτωση αντικατάσταση του α+β με το 3α+β
εργασία της Ευαγγελίας Παπαμιχαήλ
Με την αντικατάσταση του α+β με το 3α+β προκύπτει το τρίγωνο που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα
Στην τρίτη διαγώνιο από αριστερά, στη θέση των τριγωνικών αριθμών που είναι όροι της ακολουθίας αν= 1, 3, 6, 10, 15,. . . . . . . ., εμφανίζονται οι όροι της ακολουθίας βν= 9, 27, 54, 90. . . που προέρχονται από τους αντίστοιχους τριγωνικούς αν πολλαπλασιαστούν με το 3 στο τετράγωνο. Η σχέση δηλαδή που συνδέει τις δυο ακολουθίες είναι
Στην τρίτη διαγώνιο του απ’ τα δεξιά, αντί των τριγωνικών αριθμών, εμφανίζονται οι όροι της ακολουθίας: λν= 1, 9, 54, 270, . . . . . . Κάθε όρος της ακολουθίας αυτής είναι ίσος με το γινόμενο του αντίστοιχου τριγωνικού αριθμού επί την αντίστοιχη δύναμη του 3. Η σχέση που συνδέει τις δυο ακολουθίες είναι η διπλανή. |
Δείτε την εργασία της Ευαγγελίας
3α_β-Πασκάλ-Παπαμιχαήλ_Εύα.docx | |
File Size: | 71 kb |
File Type: | docx |
- Το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής
Εργασία του μαθητή Παναγιώτη Μυλωνή
Στο τρίγωνο του PASCAL Το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής είναι ίσο με την αντίστοιχη δύναμη του 2, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα
Αν αντικαταστήσουμε το διώνυμο α+β με το 2α+β, Τότε το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής αποτελεί την αντίστοιχη δύναμη του 3, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα
Δείτε την εργασία του Παναγιώτη
2α_β-pascal-Μυλωνής_Παναγιώτης.docx | |
File Size: | 17 kb |
File Type: | docx |
- Οι μονάδες στην πρώτη διαγώνιο
Εργασία του μαθητή Χρήστου Ντάρα
Στο τρίγωνο του PASCAL η πρώτη διαγώνιος από δεξιά και από αριστερά αποτελούνται από μονάδες, όπως δείχνει η παρακάτω εικόνα
- Το fractal με τους άρτιους αριθμούς
Αν χρωματίσουμε τους άρτιους αριθμούς στο τρίγωνο του Pascal, θα δημιουργηθεί ένα πολύ ιδιαίτερο σχήμα που αποτελείται από επαναλαμβανόμενα τρίγωνα, γνωστό ως fractal, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα
Αν αντικαταστήσουμε το διώνυμο α+β με το 3α+β, και χρωματίσουμε στο τρίγωνο που θα προκύψει τους άρτιους, δημιουργείται το ίδιο σχήμα, όπως δείχνει η παρακάτω εικόνα
Δείτε την εργασία του Χρήστου
3α_β_-Πασκάλ_-_Ντάρας_Χρήστος.pdf | |
File Size: | 1143 kb |
File Type: |